-
- تعاریف نظری
همنهشتی: شکلهای مسطح را هم نهشت گویند اگر همریخت و هم اندازه باشند. شکلهای همنهشت را می‌توان با تبدیلی که نقاط را حرکت می‌دهد ، اما رابطه های مجاورت ، زوایای بین خطوط و طول‌های پاره خط‌ها را تغییر نمی‌دهد،برهم منطبق کرد. چنین تبدیلی سطح‌ها را حفظ می‌کند و خطوط موازی را موازی جابه‌جا می‌کند.
اجزای متناظر: هر مثلثی دارای شش جزء است، سه ضلع و سه زاویه. در همنهشتی مثلث‌ها سه جزء برابری که پس از اثبات تساوی نتیجه‌گیری می‌شوند، اجزای متناظر نامیده می‌شوند. در مقابل هر دو زاویه‌ی برابر دو ضلع برابر وجود دارد و بالعکس.
کاربرد همنهشتی مثلث‌ها: انتخاب دو مثلث مناسب و استفاده از همنهشتی دو مثلث برای ثابت کردن تساوی اضلاع و زوایا از طریق نتیجه‌گیری به وسیله اجزای متناظر.
-
- تعاریف عملیاتی
اثبات همنهشتی دو مثلث: منظور از اثبات همنهشتی بیان یکی از سه حالت تساوی دو مثلث با ذکر دلیل است که در سؤالات ۲ و ۳ و ۴ مورد ارزشیابی قرار گرفته است.
کاربرد همنهشتی: اثبات تساوی خواسته شده در صورت سؤال که دانش‌آموزان باید با در نظر گرفتن دو مثلث و اثبات همنهشتی آن ها و بیان اجزای متناظر تساوی خواسته شده را اثبات کنند.
فصل دوم
مروری بر ادبیات موضوع
۲-۱ مقدمه
هدف این مطالعه بررسی اشتباهات مفهومی دانش‌آموزان سال هفتم دوره اول متوسطه در مورد اثبات و استدلال همنهشتی مثلث ها و منابع این خطاها است. بر این اساس در این فصل ابتدا مطالبی در مورد هندسه و تفکر هندسی ارائه شده و سپس توضیحاتی در مورد اشتباهات مفهومی و خطاها از دیدگاه نظریه های یادگیری، ریشه اشتباهات مفهومی، ویژگی‌های آن و نقش آموزش در اشتباهات مفهومی پرداخته می‌شود. به علاوه به مباحث مرتبط با موضوع شامل طرحواره‌ها در فرایند یادگیری و نظریه یادگیری اشاره شده است. همچنین به درک لزوم اثبات برای دانش‌آموزان و بررسی برنامه درسی و جایگاه اثبات های هندسی در آن پرداخته می شود.
۲-۲ هندسه
این مهم است که ما در دنیای واقعی زندگی می‌کنیم و دنیای واقعی، هندسی است. طبیعت دوگانه ی هندسه به عنوان یک حوزه نظری و یک حوزه تجربیات عملی، این امکان را فراهم می‌کند که معلمان ریاضی، ارتباطی بین نظریه و دانش روزانه ی دانش آموزان، برقرار کند (ریحانی، ۱۳۸۴). قرن‌ها ریاضیات به عنوان والاترین درس برای تربیت قدرت استدلال تلقی می‌شد و ویوس۱ در قرن چهارم ریاضیات را درسی برای نمایش قدرت ذهن بیان می‌کرد (نجفی، ۱۳۷۹). هندسه شاخه‌ای از ریاضی است که نقطه، خط، نقشه و شکلهای فضائی، روابط بین این شکل‌ها، اندازه های اشکال هندسی مثل طول، زاویه، مساحت و حجم را توصیف می‌کند (دارسان۲ و کوبان۳، ۲۰۰۶، به نقل از یلدیز۴، ۲۰۰۹). هندسه شامل شبکه های پیچیده و پیوسته‌ای از مفاهیم است که نه فقط باعث بازنمایی سیستم‌ها و مهارتهای استدلال به منظور درک و تجزیه و تحلیل فیزیکی می‌شود، بلکه همچنین باعث توسعه تصورات فضای محیطی نیز هست(الکس۵ و مامِن۶، ۲۰۱۲). هندسه در یونان باستان خیلی با اهمیت بوده است تا جایی که افلاطون بر سر در دانشکده فلسفه نوشته بود: هر کس هندسه نمی داند وارد نشود (سایبلی، ۱۹۹۸).
۱ vives
۱ Dursun
۲ Coban
۳ Yildiz
۴ Alex
۵ Mammen
افلاطون در مکتب خود هندسه تدریس نمی‌کرد بلکه فلسفه می‌آموخت. او به هندسه برای پرورش فکر و استدلال اهمیت بسیار می‌داد و مانند بسیاری از دانشمندان و فلاسفه مطالعه هندسه را برای مطالعه ی فلسفه و نیز پرورش فکر و استدلال بسیار سودمند و لازم می‌دانست (شرف الدین، ۱۳۷۷). هندسه یکی از زمینه‌های بسیار مهم ریاضی است و تجاربی را فراهم می‌کند که به دانش‌آموزان کمک می‌کند درک خود از اَشکال و ویژگی‌های آن ها را توسعه دهند و دانش‌آموزان را قادر می‌سازد تا مسائل هندسی را به مسائل جهان واقعی مربوط سازند (شرارد۱، ۱۹۸۱).
فن دِویل۲ (۲۰۰۰) دلایل زیر را برای اهمیت مطالعه هندسه برمیشمرد:
-
- هندسه می‌تواند درک کاملی از جهان ارائه کند .هندسه در ساختار منظومه‌ی شمسی و حتی در حیوانات، سازه‌های زمین‌شناسی، در سنگ‌ها و شیشه‌ها، گیاهان و گل‌ها یافت می‌شود. همچنین در بخش عمدهای از جهان مصنوعی ما مثل هنر، معماری، اتومبیل، ماشین‌آلات و تقریباً همه چیزهایی که انسان ایجاد می‌کند، شکلهای هندسی وجود دارد.
-
- اکتشافات هندسی می‌توانند مهارتهای حل مسئله را توسعه دهند. استدلال فضایی، شکل مهمی از حل مسئله است و حل مسئله یکی از دلایل اصلی مطالعه ریاضیات محسوب می‌شود.
-
- هندسه نقش کلیدی در مطالعه سایر حوزه های ریاضی بازی می‌کند. به عنوان مثال، مفهوم کسر به ساختارهای جزء به کل هندسی مربوط است. نسبت وتناسب به طور مستقیم به مفهوم هندسیِ تشابه ارتباط دارد. اندازه‌گیری و هندسه نیز به وضوح به هم مرتبط هستند.
-
- هندسه روزانه توسط بسیاری از مردم به خصوص دانشمندان، معماران، هنرمندان و مهندسان استفاده می‌شود. همچنین در خانه نیز برای ساخت یک حصار یا طراحی یک باغچه از هندسه استفاده می‌کنیم.
- هندسه لذت‌بخش است و به طور کلی باعث افزایش خوگیری دانش‌آموزا ن به ریاضیات می‌شود.
امروزه هندسه کاربردهای علمی فراوانی مدل سازی هندسی، ربوتیک، پزشکی، متحرک سازی کامپیوتری، شیمی محاسباتی، فیزیک، بیولوژی، سیستم اطلاعات جغرافیایی و ریاضیات یافته است (وایتلی۳، ۱۹۹۹).
هدف نهایی یادگیری هندسه ارتقاء قدرت استدلال است. استدلال هندسی می‌تواند به عنوان اختراع یا استفاده از سیستم های مفهومی رسمی برای بررسی شکل و فضا تعریف شود (باتیستا۴، ۲۰۰۷).
۱ Sherard
۱ Ven de Walle
۲ Whiteley
۳ Battista
مهارتهای هندسی شامل مهارتهای دیداری، شفاهی، ترسیمی، منطقی و کاربردی هستند (غلام آزاد، ۱۳۷۹). تفکر هندسی شامل تفکر و دست ورزی با تصاویر فضایی است و مثال‌های قابل درک می‌تواند برای صحت بخشیدن به آن ها کمک کند (هندسکومب۱، ۲۰۰۵).
مهارت دیداری هندسه توسط دانش‌آموزان از سنین قبل از دبستان شروع می‌شود یعنی زمانی که اشکال را در محیط اطراف خود شناسایی می‌کنند. مهارتهای شفاهی هنگام ورود به مدرسه یادگرفته می‌شوند اکنون او قادر است اشکال را با نام‌های هندسی آن ها بخواند. مهارتهای ترسیمی بعد از یادگیری اسامی هندسی پدیدار شده و در سال‌های بالاتر سرانجام مهارتهای منطقی هندسی یادگرفته می‌شوند. دانش‌آموز با یادگیری قضایا شروع به استدلال در این زمینه می‌کند. یادگیری بیشتر هندسه به درک فضایی دانش‌آموزان کمک می‌کند و با بالا بردن قدرت تحلیل مسائل می‌تواند در گره‌گشائی مشکلات روزمره آن ها مؤثّر باشد. هندسه حوزه‌ای طبیعی است که در آن دانش‌آموزان می‌توانند مهارتهای استدلال و داوری را برای ارتقاء تئور‌ی‌های هندسی توسعه دهند (اردوگان۲ ، آکایا۳، سلبی آکایا۴، ۲۰۰۹).
